Základní objekty a principy počítačové grafiky
Parametrické rovnice
V CAD systémech se používají parametrické rovnice a algoritmy pro vykreslování objektů, hledání průsečíků apod. Jednoduché objekty jako je úsečka nebo kružnice jsou definovány kontrolními body a rovnicemi.
Například kružnice má střed (center) a,b (control point), rádius r a rovnici, která definuje všechny x,y body kružnice.
Implicitní funkce:
- x² + y² = r²
Parametrická rovnice za použití trigonometrických funkcí sinus a cosinus:
- x = a + r cos(t)
- y = b + r sin(t), kde t je proměnná nabývající hodnot 0 až 2*π.
Podobně pro kouli:
- x = Cos(t)*Cos(s)
- y = Sin(t)*Cos(s)
- z = Sin(s)
kde t je proměnná nabývající hodnot 0 až 2*π, a proměnná s nabývá hodnot -π/2 až +π/2
V CAD se používají parametrické verze rovnic.
Příklady a on-line ukázky:
- Výborně zpracovaný úvod do matematiky počítačové grafiky a OpenGL (Børre Stenseth; Østfold University)
- Engineering fundamentals - Parametric Surface
- Paul's Online Math Notes
- Tom Leathrum's mathlets for Math Explorations
Obecné křivky a plochy
Problém definice a zobrazování obecných křivek a ploch. Základ spočívá v definici křivky jejích vrcholy a vektory v těchto vrcholech. První definice pocházejí od francouzského matematika Hermita Hermitova křivka. Tato křivka je definována dvěma vrcholy a vektory (řídícími tangentami ve vrcholech).
Tento přístup umožňuje definovat pouze některé tvary. Rozšířením principu je Bézierova křivka, která byla použita v 60. letech pro konstrukci automobilových karoserií. Tato křivka, zejména její zobecněná varianta B-spline a de Casteljau algoritmus je široce používán v CAD systémech.
Dalším zobecněním jsou NURBS (Nonuniform rational B-spline) křivky a plochy a s nimi související De Boorsův algoritmus, který je zobecněním de Casteljau algoritmu.
Zpět na úvod - Materiály a poznámky k přednáškám
